乡镇卫生院职工应享受法定节假日。根据《劳动法》，职工有权休假，院长也不例外。不休息可能违反法律，导致职工权益受损，影响工作效率及身心健康。
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对于不能享受休假的问题，常见处理方式是先协商，后投诉，再举报。协商时应明确政策，投诉时要详细说明情况，举报则需携带充分证据。
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应享受休假。处理方式：1.与院长协商，明确国家法定节假日规定；2.协商无果，向上一级部门投诉，附上详细情况说明；3.投诉无效，收集证据向检察院举报，维护自身权益。